第一百三十九章 二试（2 / 3）

活在13世纪的罗马，你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。

现在国王要你让测量出他身上的一件东西。

这件物品的重量在1到88克之间。

1、你是否能做到？甚至少了任何一个砝码也能做到这一点？

2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。

这件物品在159克之间。

你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？

伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。

但是这题有点奇怪的地方在于——

它规定了时代背景。

你生活在13世纪，并且是欧洲。

这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。

所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。

他先尝试对题目进行拆解——

取n个砝码，记第i个砝码的重量为fi

对于重量为的物体，可以用n个砝码测出它的重量。

当n1时，f3f2+f12

于是，f311，1时，显然可以测出。

然后再讨论n和n+1时的情况……

通过归纳假设……

可以得到第1问的证明。

在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律——

真是美丽的数字关系。

如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释

斐波那契数列。

斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。

所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。

伊诚提笔写到——

构造广义斐波那契数列

nn3n大于等于4）。

n31

用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g（n+1）1的物体。

n（13）60

所以第二问得证。

可以找到满足题意的12个砝码称量159范围内的物体。

答完题。

伊诚闭上眼睛，细细地品味着。

不得不说出题人真的很棒。

至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。

不单单是因为斐波那契数列是黄金分割，本身就具有艺术美感。

更关键的是，这题反应了从探索到猜想，再到证明的数学之美。

啧啧。

伊诚砸吧着嘴唇，在陶醉了一番后，继续攻克最后一道大题。

现在时间才过去了三分之一。

最后一题是一道证明题

设s为r3中的抛物面z（x2+y2）2，a，b，c为s外一固定点，满足a2+b2大于2c，过点作s的所有切线。

证明这些切线的切点落在同一平面上。

本来以为是压轴题，应该有点难度，但是伊诚稍加思索，发现这题并不难。

在几何中，有一个非常厉害的王者咖喱棒。

它就是向量。

只要使用向量这把咖喱棒，就能把一切都斩于无形。

伊诚略加思索，运用向量把题目证明完毕。

完了以后，他发现了一个神奇的事情——

这道题目不只是在二维平面上是可证的，甚至可以推广到二次曲面上。

于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。

做完这些，伊诚在想，既然二次曲面也是可行的，那么有没有可能推广到3次？

当他忘乎所以，在草稿纸